Paslėptas Markovo modelis: Diskretinis Markovo procesas

Paimkime sistemą, kurią galima apibūdinti bet kokiu laiko momentu tam tikra būsenų seka N, kur galimos sistemos būsenos yra S_1, S_2, .., S_N, kaip pavaizduota iliustracijoje.

Markovo graindinė su 5 būsenomis ir perėjimo tikimybėmis

Markovo graindinė su 5 būsenomis ir perėjimo tikimybėmis

Per tam tikrą, periodinį laiko tarpą, sistema pakeičia savo būseną, priklausomai nuo ankščiau numatytų tikimybių. Mes nustatome laiko konstantas, susietas su būsenų kitimu, t = 1, 2, ... ir nustatome sistemos būseną q_t, esant t laikui. Pilnas probleminis sistemos apibūdinimas reikalauja žinoti sistemos būseną kiekvienu laiko momentu. Specialaus diskretinio, pirmojo tipo Markovo grandinei, toks probleminis sistemos apibūdinimas yra išskaidytas į dabartinę ir spėjamą būseną, pavyzdžiui:

Kur P yra skaičiuojamoji tikimybė; q_t yra t laiko momentu sistemos būsena S_N.

Mes orientuojamės tik į procesus, kurioje aukščiau nurodytos lygties dešinėje dalyje, kuri yra nepriklausoma nuo laiko. Tai veda prie galimybės suformuoti tarpinių būsenų, sudarytų iš dabartinės ir spėjamos, tikimybes a_{ij}:

su tarpinės būsenos koeficientų apibrėžimais:

kadangi jos pilnai patenkina standartinio stochastinio proceso konstantas.

Aukščiau nurodytas stochastinis procesas gali būti vadinamas galimas Markovo modelis, kadangi proceso išėjimas yra sistemos būsena tam tikru laiko momentu, kur kiekviena būsena nusako fizikinį įvykį. Tam, kad įtvirtinti aptartas idėjas, paimkime trijų lygių Markovo oro modelį. Galima pasakyti, kad galimas pusiaudienį oras lauke gali būti trijų fazių:

  • Būsena 1: lietus
  • Būsena 2: debesuota
  • Būsena 3: saulėta

Mes teigiame, kad oras, esant dienai t, yra charakterizuojamas pagal aukščiau nurodytas būsenas, o galimybių a_{ij} matrica A atrodytų taip:

Padarykime prielaidą, kad pirmą dieną (t=1) šviečia saulė. Ir paklauskime klausimo: kokia tikimybė, kad per sekančias septynias dienas oras bus “saulė-saulė-lietus-lietus-saulė-debesuota-saulė-..” ? Tikimybių seką O mes galime aprašyti kaip O = \{S_3, S_3, S_3, S_1, S_1, S_3, S_2, S_3\}, kuri sudaryta iš t =1, 2, ..., 8 laiko momentu atliktais stebėjimais. Mes norime nustatyti šio modelio tikimybę O. Tokia tikimybė gali būti išreiškiama taip:

panaudojome pažymėjimą

norėdami pažymėti pradinio įvykio tikimybę.

Taip pat galime paklausti dar vieno įdomaus klausimo (į kurį atsakyti galime pasitelkti modelį): Kokia tikimybė, kad modelis liks vienoje būsenoje tiksliai d dienų?

Tokia tikimybė yra randama stebėjimų seka:

modeliui, kuris yra:

Dydis p_i(d) yra diskretinis dydis, kuris žymi funkcijos tankio tikimybę, kurios trukmė yra d, i būsenoje. Šitas eksponentinis tikimybės tankio dydis yra Markovo grandinės tikimybės būsenos ilgis. Remiantis p_i(d), mes galime apskaičiuoti tikėtiną vienos būsenos stebėjimų skaičių

Iš čia galime apskaičiuoti, kad tikėtinas vienos būsenos stebėjimas esant saulėtam orui yra \frac{1}{0.2}=5, debesuotumui \frac{1}{0.4}=2.5, o tikimybė stebėti lietų \frac{1}{0.6}=1.67 dienos.

Šaltinis: “A tutorial on Hidden Markov Models and Selected Applications in Speech Recognition”

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s